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Matemática 51

2024 GUTIERREZ (ÚNICA)

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MATEMÁTICA 51 CBC
CÁTEDRA GUTIERREZ (ÚNICA)

Práctica 1 - Números reales

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2.
b) Decidir si los números $a$ y $b$ pertenecen al conjunto $C$.

(i) $C=\left\{x \in \mathbb{R} / 5 x-3>\frac{1}{2}-x\right\} \quad a=-2 ; \quad b=1$

(ii) $C=\left\{x \in \mathbb{R} / x^{2}-25>0\right\} \quad a=0 ; \quad b=5$

Respuesta

i. $C=\left\{x \in \mathbb{R} / 5 x-3>\frac{1}{2}-x\right\} \quad a=-2 ; \quad b=1$

Para determinar si un número pertenece al conjunto $C$, tenemos que verificar si cumple con las condiciones establecidas en la definición de $C$. 


Tené en cuenta que "$C=\left\{x \in \mathbb{R} / 5 x-3>\frac{1}{2}-x\right\}$" se lee como "el conjunto C, formado por los valores de $x$ perteneciente a los números reales, tal que se cumpla que $5 x-3>\frac{1}{2}-x$". ¡Sigamos!


-> Resolvamos la inecuación para despejar $x$ y de esa forma obtener los valores de $x$ que pertenecen al conjunto $C$. Luego vamos a comparalos con los valores de $a$ y $b$ indicados en el enunciado:

$5 x-3>\frac{1}{2}-x$


$5 x+x>\frac{1}{2}+3$


$5 x+x>\frac{1}{2}+3$


$6x>\frac{1 . 1 + 3 . 2}{2}$


$6x>\frac{1+ 6}{2}$


$6x>\frac{7}{2}$


$x>\frac{7}{2 . 6}$ *


$x>\frac{7}{12}$


Usando tu calcu podés saber que $\frac{7}{12} \approx 0,58$.

Repuesta:
Es decir que el conjunto $C$ está formado por los valores de $x$ mayores a  $\frac{7}{12}$ (sin incluir al $\frac{7}{12}$). Por lo tanto $a=-2$ no pertenece al conjunto C, pero $b=1$ sí pertenece al conjunto C. Ésto matemáticamente se escribe así:

$a \notin C$ $b \in C$ 


* Un detalle, notá que cuando pasas un número diviendo a una fracción, podés escribirlo de estas dos formas, y son equivalentes:
$x>\frac{7}{2 . 6}$ = $x>\frac{\frac{7}{2}}{6}$  Te lo aviso porque ya te iba a entrar la duda, ahora o más adelante. Así que escribilo como te guste más.


 
 
ii. $C=\left\{x \in \mathbb{R} / x^{2}-25>0\right\} \quad a=0 ; \quad b=5$

Para determinar si un número pertenece al conjunto $C$, debemos verificar si cumple con las condiciones establecidas en la definición de $C$.


Ya sabemos que "$C=\left\{x \in \mathbb{R} / x^{2}-25>0\right\}$" se lee como "el conjunto C, formado por los valores de $x$ perteneciente a los números reales, tal que se cumpla que $x^{2}-25>0$". 


-> Resolvamos la inecuación para despejar $x$ y de esa forma obtener los valores de $x$ que pertenecen al conjunto $C$. Luego vamos a comparalos con los valores de $a$ y $b$ indicados en el enunciado:


⚠️Si no viste el video de módulo o valor absoluto, es probable que no entiendas este ejercicio. Así que andá corriendo a verlo y volvé que acá te espero.

$x^2-25>0$ $x^2>25$ $|x|>\sqrt{25}$ $|x|>5$ Resolvemos el módulo: $x>5$ ó $x<-5$ 


Repuesta:
Vemos que el conjunto $C$ está formado por todos los valores de $x$ menores a $-5$ y por todos los valores mayores a $5$. Si expresamos esto en forma de intervalo nos queda: $(-\infty, -5) \cup (5, +\infty)$. Entonces, $a=0$ no pertenece al conjunto $C$, y $b=5$ tampoco, ya que el 5 no está incluido (está con paréntesis no con corchete). Matemáticamente se escribe así: $a \notin C$ $b \notin C$ 
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Baltasar
31 de agosto 12:04
hola profe! estos ejercicios tambien se podrian resolver replazanda las X por los puntos a y b? 
0 Responder
Julieta
PROFE
31 de agosto 12:37
@Baltasar Sí, tendrías que ver si se cumple o no la igualdad. Pero no es el objetivo del ejercicio jejeje, la idea es que aprendan a resolver inecuaciones e interpretar los resultados.
0 Responder
Camila
27 de agosto 19:21
Hola profe, tengo una duda referido al ejercicio ii. Cómo hago para diferenciar que no es un producto de 2 factores si no un modulo?. Interpreté que x^2-25>0  era diferencia de cuadrados (x+5) (x-5) >0, después resolví con caso 1 y caso 2 para al final obtener la unión de esas dos soluciones.
0 Responder
Julieta
PROFE
28 de agosto 12:18
@Camila Hola! Me parece espectacular la forma de resolverlo, es otra forma posible y habrás comprobado que se llega al mismo resultado! 
0 Responder
Ariana
22 de agosto 0:13
Hola juli!! Tengo una duda sobre el último ejercicio... Por qué es (-∞, -5)∩(5,+∞) ? no tendría que ser
 (-∞,-5)∪(5,+∞) ya que no hay una intersección? 
0 Responder
Julieta
PROFE
22 de agosto 12:19
@Ariana Siiii Ari!! Excelente observación! 
0 Responder
Ailen
19 de agosto 10:34
Hola profe, en el ejercicio (i) No debería ir la E tachada en el caso de "a" ya que no pertenece al conjunto C. Y la E sin tachar en el caso de "b"??
0 Responder
Julieta
PROFE
19 de agosto 15:41
@Ailen ¡Sí! Gracias Ailen, se me pasó 😊
0 Responder
Katherina
18 de agosto 0:36
Profe no entendí por qué en el ejercicio (i) no se termina de resolver {5x-3>1/2-x}, no se tendrían q reemplazar las x por 7/12 y resolver para llegar a los puntos del intervalo?? 
5.7/12-3>1/2-7/12
0 Responder
Julieta
PROFE
19 de agosto 15:38
@Katherina Hola Kathe, vos lo que hacés es resolver la desigualdad (hallar el o los valores de $x$) para poder saber qué valor o valores de $x$ pertenecen al conjunto C. Una vez que vos despejas la $x$ ya tenés la respuesta. En este caso, vos sabés que el conjunto C va a estar formado por todos los valores mayores a 7/12. Si querés escribir al conjunto C como un intervalo sería el intervalo $(\frac{7}{12}, +\infty)$.
0 Responder
Julieta
PROFE
19 de agosto 15:39
@Katherina Si te quedan dudas sobre esto mirá el video de inecuaciones en el curso 😊
0 Responder
Brenda
5 de mayo 14:04
holis profe no entiendo porque multiplica 1.1 y 3.2 del ejercicio (i) 6x > 1.1 + 3.2
0 Responder
Julieta
PROFE
6 de mayo 14:09
@Brenda ¡Hola Bren! Es porque sumé fracciones de distinto denominador, podés verlo en el video de fracciones del curso,
0 Responder
Ana
29 de abril 1:22
Hola profe. No entiendo por qué en el punto (i) no utilizaste módulo y en el punto (ii) sí. Vi el video, pero todavía me cuesta identificar bien esas cosas.
0 Responder
Julieta
PROFE
1 de mayo 7:46
@Ana ¡Hola Ana! Siempre que tengas una potencia par (en (ii) hay  $x^2$ y el 2 es un número par). Al momento de despejar $x$ lo que uno hace es aplicar la operación contraria a ambos lados del igual, en este caso aplicamos raíz cuadrada. El cuadrado se cancela con la raíz del lado izquierdo y ese paso no lo muestro nunca porque es escribir al pepe, lo importante es que siempre que uno hace eso, cuando hay potencia PAR del lado donde te quedó la incógnita, en este caso $x$ tenés que ponerle módulo. 


Ejemplos con potencias de número par:


Ejemplo 1:

$x^2 = 16$

$|x| = \sqrt{16}$

$|x| = 4$

Y el resultado es $x=-4$ y $x=4$


Ejemplo 2:

$x^4 = 81$

$|x| = ^{4}\sqrt{81}$

$|x| = 9$

Y el resultado es $x=-9$ y $x=9$


Ejemplo con potencias de número impar:

$x^3 = 8$

$x = ^{3}\sqrt{8}$

$x = 2$

Y el resultado es $x=2$.


$x^3 = -8$

$x = ^{3}\sqrt{-8}$

$x = -2$

Y el resultado es $x=-2$.



En (i) no tenés nada elevado al cuadrado que despejar.
0 Responder
Ana
2 de mayo 22:38
Muchas gracias, Juli! Ahora lo entendí mejor. Perdón las molestias
0 Responder